1. Transformaciones geométricas.

 

¡Hola a todos y bienvenidos a la primera entrada del blog del equipo Isaac Newton!🍎

Esta entrada pretende abordar algunos de los aspectos más importantes de las transformaciones geométricas, así como sus aplicaciones y algunos de los ejemplos más claros que se pueden encontrar en el día a día.

En primer lugar vamos a definir el concepto de transformación geométrica:

Una transformación geométrica es una operación que permite crear nuevas figuras partiendo de una dada. Gráficamente esto significa que si en un triángulo ABC desplazamos el punto A sin mover BC, obtendremos un nuevo triángulo A'B'C' diferente al triángulo ABC. 

Triángulo ABC

Triángulo A'B'C'

Una vez entendido este concepto, vamos a trabajar cuatro tipos distintos de transformaciones geométricas:

• Traslaciones:

Una traslación es una transformación geométrica en la que todos los puntos del plano se mueven en la misma dirección y sentido y la misma distancia. 

Como podemos observar, todos los puntos de la figura se han desplazado una distancia (3) con una dirección y un sentido uniforme. Es por ello que la figura base ABCD y la figura desplazada A'B'C'D' siguen teniendo la misma forma y tamaño.

Para un mejor entendimiento, un ejemplo sencillo de la vida cotidiana sería el desplazamiento a izquierda o derecha de una mampara de una ducha o de una puerta corredera.

• Giros:

Un giro o rotación en el plano es una transformación geométrica que consiste en girar todos los puntos del plano alrededor de un punto fijo, denominado centro del giro; un cierto ángulo, llamado ángulo de giro, y según un sentido de giro. 

En la siguiente imagen podemos observar una figura ABCDEF ha rotada 90º a partir del centro de giro G, y con un sentido horario.

Otro ejemplo de la vida cotidiana es el movimiento de las agujas de un reloj, del carrete de una caña de pescar, o de una noria.

• Simetrías: 

La simetría es la correspondencia exacta en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un centro, un eje o un plano. 

Debido a esta definición, podemos encontrar distintos tipos dependiendo del punto o puntos a partir de los cuales se lleve a cabo la simetría:

• Simetría Axial: Transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto P’, con la condición de que P y P’ están a la misma distancia del eje de simetría y el segmento PP’ es perpendicular al eje de simetría. Es decir, si una figura puede ser dividida en dos partes por una recta, y dichas partes con iguales entre sí, podremos decir que tiene simetría axial.

• Simetría Rotacional: Una figura plana tiene simetría rotacional cuando en ella podemos encontrar un centro, denominado centro de rotación, de manera que si giramos la figura completa un cierto ángulo mayor a 0º y menor que 360º, esta coincide con la figura original.

• Simetría Central o Puntual: Es una transformación geométrica en la que a cada punto se le asocia otro punto llamado imagen, que debe cumplir:

1. El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría.
2. El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.

• Simetrías con deslizamientos: Una simetría con deslizamiento es la composición de una simetría y una traslación de vector paralelo al eje de simetría, es decir, es la "fusión" del primer y tercer punto.

El entendimiento de estos tipos de transformaciones geométricas nos permite introducir un par de nuevos conceptos muy interesantes:

• Homotecias: 

Son transformaciones geométricas en las que, a partir de una figura dada, se obtienen una o varias figuras de tamaño distinto o igual a la figura principal. Estas siempre vienen descritas por dos características: la constante de homotecia y el centro de homotecia. Para que una homotecia esté bien realizada, debe cumplir estrictamente una serie de pautas: 

1. Los ángulos de las figuras original y transformada son iguales.
2. Cada segmento y su transformado son paralelos.
3. Las dimensiones de dos figuras por homotecia son directamente proporcionales, esta proporción es fijada por la constante de homotecia.  

Como podemos observar, encontramos la figura original ABCDE, la figura A'B'C'D'E' con una constante de homotecia 2, la figura A'1B'1C'1D'1E'1 con una constante de -1, y la figura A'2B'2C'2D'2E'2 con una constante de 0,5. 

• Semejanzas:

Son secuencias de homotecias y movimientos rígidos, como traslaciones o giros. Para poder llevarlas a cabo, se deben dominar todos los contenidos mostrados en esta entrada.

A continuación, para demostrar la gran cantidad de transformaciones geométricas con las que nos cruzamos día a día y no nos damos cuenta, os dejamos unos cuantos ejemplos encontrados en un portal de una vivienda corriente.  

Un buzón, al igual que una puerta, trampilla, o cualquier elemento con un mecanismo similar produce un giro o rotación.

Las baldosas y ladrillos empleados en la construcción, debido a la disposición que se les suele dar, nos ofrecen grandes ejemplos de transformaciones geométricas. 

En este caso podemos observar un conjunto de baldosas, las cuales no dejan de ser un conjunto de simetrías axiales.

Otro ejemplo son los azulejos utilizados para decorar techos y paredes. Los de la siguiente imagen forman círculos con flores, formando así una simetría rotacional.

Por último, os presentamos de nuevo la disposición de un suelo, el cual forma una homotecia. Hemos querido destacar esta fotografía debido a que las líneas negras formadas por las diferentes baldosas nos recuerdan a las líneas que se deben trazar a la hora de realizar dicha transformación en un papel, y las cuales confluyen en el centro de homotecia. (No obstante, sabemos que la fotografía no llega a ser una homotecia, ya que las barras blancas, que representan las figuras que sufren el fenómeno, son iguales. Para que se cumpliese la homotecia, las más cercana al centro debería ser más pequeña.

Todos estos tipos de transformaciones geométricas pueden algo complicadas de explicar en el aula. Por ello, a continuación os presentamos algunas opciones de materiales manipulativos que pueden ser construidos y empleados fácilmente, ayudando así a los alumnos a interiorizar diversos conceptos y a resolver algunos ejercicios. 

Para ello, os hemos facilitado un pequeño podcast en el que hablamos de dichos recursos:

Podcast: https://go.ivoox.com/rf/100702463

Entre los materiales manipulativos recogidos destacan:

-Los tangram:

Estos permiten a los alumnos crear formas geométricas y practicar cualquiera de las transformaciones que hemos visto anteriormente. Además, en internet podemos encontrar una multitud de vídeos que explican paso por paso como construirlo.

Tangram realizado con un folio y rotuladores

Cómo hacer un tangram: https://youtu.be/VPsyNS9kjWA

Tangram virtual: https://toytheater.com/tangram/#

Algunos ejemplos de transformaciones con tangram:

Traslación

Giro (90º)

                                                          

Simetría axial

Simetría rotacional

                                            

Simetría central

Simetría con desplazamiento

                            

Homotecia

 

Semejanza

                                                        

-Los espejos también son un recurso a tener en cuenta a la hora de explicar las diferentes simetrías, ya que jugando con sus reflejos, se pueden trabajar dichos conceptos. Solo hace falta un espejo o libro de espejos, y unas cuantas figuras recortadas.

Figuras empleadas

Cuadrado=Cuadrado más grande

Triángulo=Dos rombos

Semicírculo=Dos círculos

Cambiando el ángulo de los espejos:

Triángulo=Pentágono

Medio semicírculo=Círculo

-Por último, vamos a presentar el reloj matemático. Para su elaboración, se recortará un círculo de papel, marcando en él tramos de 15º. Debe quedar con un aspecto similar al de un reloj convencional. No obstante, deberá tener 24 marcas de 15º (360º). En el centro del círculo se clavará una chincheta, la cual funcionará como centro de rotación. Los alumnos crearán sus propias figuras, fijándolas al centro gracias a la chincheta, y rotándolas tantos grados como deseen. 

 

Como habéis podido observar, hay muchas formas de enseñar estos contenidos en un aula, y muchos los recursos que se pueden utilizar. No obstante, os vamos a dejar algunos ejemplos de ejercicios que emplearíamos nosotros en este proceso educativo.

1. Habiendo estudiado ya todos los tipos de transformaciones geométricas vistos anteriormente, ponga un ejemplo de la vida cotidiana para cada uno de ellos. Intente acompañar dichos ejemplos con un dibujo. 

Ej:

Simetría axial

Homotecia

2. Recorte las siguientes figuras geométricas y construya una nueva empleando todas. Después, dibuje dicha figura en una hoja de cuadros y represente su simetría axial. 

¿La figura dada posee simetría rotacional? Justifique su respuesta.

Ej:

Ejemplo figura

Ejemplo simetría axial

3. Una la figura del ejercicio anterior a su simetría axial, formando una nueva figura. ¿Ahora tiene simetría rotacional? Tomando como centro de giro cualquier punto del plano que se encuentre fuera de la figura, realice un giro de 90º en sentido horario y dibuje el resultado. Haga lo mismo con un giro de 180º en sentido antihorario. 

Ej:

Nueva figura

90º sentido horario

180º sentido antihorario 

4. Divida de nuevo en dos partes la figura construida, pero esta vez, el corte deberá ser perpendicular al plano por el que se realizó la simetría axial. Con esta nueva figura, realice una homotecia con una constante de 0,5. De nuevo, tome como centro de homotecia cualquier punto del plano que se encuentre fuera de la figura.

Nueva figura

Homotecia (constante 0,5)

Además, para niveles más avanzados, se podría pedir a los alumnos que predijesen los resultados de los ejercicios antes de hacerlos, comparando el la predicción y el resultado final una vez hechos.